Nie ma jednej nauki, która badałaby ludzkie zdolności matematyczne. Różne aspekty umiejętności dodawania, pierwiastkowania, całkowania czy transponowania tensorów odkrywają psychologia poznawcza, neuronauki, lingwistyka kognitywna, a także ewolucyjne kulturoznawstwo. Testom i eksperymentom poddawane są zarówno dzieci, dorośli jak i zwierzęta. Mimo że nie dysponujemy jeszcze całkowicie satysfakcjonującą teorią, wycinki wiedzy układają się jednak w ciekawą mozaikę, stopniowo odsłaniając tajemnicę naszego myślenia matematycznego.

"Najtwardszych" czy też "najbardziej naukowych" wyników w tej dziedzinie dostarczają techniki neuroobrazowania oraz badanie wpływu lezji (uszkodzeń mózgu) na zdolności matematyczne. Okazało się, że ze zdolnościami matematycznymi powiązane są różne struktury neuronalne, na przykład dolna kora ciemieniowa czy fragmenty kory przedczołowej. Pacjenci z lezjami tej ostatniej mają problemy z wykonywaniem prostych zadań numerycznych.

Matematyk od urodzenia

Badania psychologiczne świadczą o tym, że już noworodki potrafią dodawać i odejmować małe liczby, rozróżniają liczebność zbiorów i dostrzegają zależność między liczbą bodźców słuchowych i wzrokowych.

Małe dzieci dość szybko uczą się rozpoznawać symbole i zapamiętywać wyniki operacji. Z dużym prawdopodobieństwem stwierdzić można, że gdy przychodzimy na świat, proste zdolności matematyczne są już zakodowane w naszych mózgach. Neuronaukowiec i matematyk, Stanislas Dehaene określa je mianem "zmysłu liczby" (jego słynna książka nosi tytuł The Number Sense). Czy oznacza to, że cała matematyka jest wrodzona? Jest to raczej wątpliwe. Dzięki podstawowym zdolnościom numerycznym nasze mózgi są jednak "otwarte" na matematykę, czyli zdolne do jej przyswojenia. Nawet Albert Einstein, Carl Friedrich Gauss czy Stefan Banach - mimo niewątpliwego talentu i geniuszu - potrzebowali lat treningu, by zostać wielkimi matematykami.

Dwa umysłowe systemy matematyczne

Psychologia poznawcza głosi, że ludzkie zdolności matematyczne w zakresie operacji na zbiorach oparte są na działaniu dwóch "systemów umysłowych". Pierwszy z nich to system śledzenia obiektów (object tracking system, w skrócie OTS), zaś drugi to system liczb przybliżonych (appriximate numer system, ANS).

OTS umożliwia wzrokowe śledzenie 3 lub 4 obiektów. Obiekty te mogą być statyczne lub znajdować się w ruchu. Piąty obiekt umknie naszej uwadze z powodu niewielkich możliwości ludzkiej pamięci roboczej (porównać można ją ze znacznie pojemniejszą pamięcią RAM w komputerach). Ograniczenie naszej pamięci roboczej uświadamiamy sobie na przykład wtedy, gdy próbujemy zapamiętać numer telefonu komórkowego. Eksperymenty z użyciem funkcjonalnego rezonansu magnetycznego (fMRI) wskazują, że neuronalną bazą OTS jest tylna kora ciemieniowa oraz struktury potyliczne.

Drugi z systemów, ANS, odpowiada za przybliżone postrzeganie większej liczby obiektów, znajdujących się w danym zbiorze. Mózgowym korelatem ANS jest bruzda śródciemieniowa. Dzięki działaniu tego systemu zdolni jesteśmy do porównywania liczebności zbiorów większych niż cztery elementy bez konieczności przeliczania. Mówiąc swobodnie, ANS jest podstawą dla "intuicji matematycznej".

To wszystko mogłoby sugerować, że nasze umysły przystosowane są do precyzyjnych operacji matematycznych jedynie na bardzo małych zbiorach, a "trudniejsze" operacje wykonywane są jedynie z przybliżoną dokładnością. Wnioskowi temu przeczy nawet doświadczenie "uprawiania matematyki" na poziomie szkoły podstawowej. Jesteśmy przecież zdolni do wykonywania operacji dodawania zbiorów znacznie większych niż 4-elementowe. Psychologiczna teoria oczywiście temu nie przeczy.

Zagadką pozostaje jednak, jak w trakcie rozwoju osobniczego dzieci uczą się przekraczać Rubikon czterech elementów. Istnieje na ten temat kilka konkurencyjnych hipotez. Pierwsza z nich głosi, że nasza pamięć robocza cechuje się "elastycznością". Istotnie podlega ona ograniczeniu do 3-4 elementów, jednak elementy te niekoniecznie muszą być pojedynczymi obiektami (np. jabłkami czy zapałkami). Równie dobrze mogą być to całe zbiory (koszyki jabłek lub pudełka zapałek), a nawet zbiory-zbiorów. Konkurencyjna hipoteza odwołuje się do współdziałania obydwu systemów - OTS i ANS. Dzięki temu własności małych zbiorów (znane nam dzięki OTS) "przenoszone" są na większe zbiory dzięki ANS. Jeszcze inna - najbardziej wiarygodna - hipoteza głosi, że precyzyjne posługiwanie się zbiorami większymi niż 4-elementowe jest ściśle związane z przyswajaniem języka przez dzieci. W kształtowaniu się naszych zdolności matematycznych początkowo ważną rolę odgrywa "werbalne" zliczanie i przeliczanie. Nie oznacza to jednak, że matematyka i język to "dwie strony tej samej monety".

Liczby jak pojemniki - metaforyczna matematyka

Język pozwala dzieciom przekraczać barierę czterech elementów. Jednak do świata matematyki należą także zbiory nieskończone, liczby zespolone, kwaterniony, pierścienie czy przestrzenie Hilberta. Trudno uwierzyć, że zdolność do poruszania się w tym świecie oparta jest na prostej zdolności do przeliczania. Niestety, nauki o mózgu i umyśle niewiele mówią na ten temat. Jedną z nielicznych teorii wyjaśnienia poznania matematycznego zaproponowali George Lakoff i Rafael Núñez w książce Where Mathematics Comes From.

Lakoff i Nunez wskazują na związek zdolności matematycznych z wrodzoną umiejętnością posługiwania się metaforami. Podstawy kognitywnej teorii metafor przedstawiłem w tekście Myślenie metaforami, czyli dlaczego "głowa do góry". Przypomnę tylko, że zdaniem Lakoffa i jego współpracowników metafory nie są - jak uczy się na języku polskim - jedynie ozdobnikami tekstu i środkami ekspresji literackiej, czyli środkami językowymi. Metafory są czymś znaczenie więcej - są narzędziami naszego myślenia i działania. Zamieszkują one nasze umysły, podobnie jak pojęcia, uczucia czy też systemy poznawcze, takie jak OTS i ANS. Metafory pozwalają nam doświadczać pewnych niezbyt dobrze znanych rzeczy, w kategoriach innych rzecz dobrze znanych z fizycznego doświadczenia.

Lakoff przekonuje, że gdy mamy do czynienia z obiektami abstrakcyjnymi, takimi jak np. byty matematyczne, zawsze działa nasz umysłowy mechanizm metaforyzacji. Dzięki temu abstrakcyjne pojęcie liczby rozumiane jest przez nas w kategoriach dobrze znanego z doświadczenia codziennego pojęcia zbioru (jabłek, zapałek). W ten sposób - dzięki działaniu odpowiednich metafor - zdolni jesteśmy do nauczenia się i uprawiania bardziej skomplikowanej matematyki.

Przykładowo, analiza matematyczna bazuje na naszych zdolnościach do pojęciowego opisu ruchu ciał i ciągłości, z kolei zdolności do myślenia logicznego wykorzystują tzw. schematy wyobrażeniowe. Jednym z nich jest schemat pojemnika. Wiemy doskonale, że przedmiot może znajdować się tylko w albo poza pojemnikiem. Nigdy naraz tu oraz tam. Zastanówmy się jeszcze nad problemem nieskończoności. Matematycy chętnie wykonują operacje na zbiorach nieskończonych. Brzmi to paradoksalnie. Każda sensowna operacja matematyczna musi mieć jakiś rezultat. Coś nieskończonego nie może mieć przecież rezultatu, bo jest niekończące się. Zdaniem Lakoffa i Núñeza operacje na zbiorach nieskończonych możliwe są dzięki temu, że nasz umysł traktuje je - za pomocą mechanizmów metaforyzacji - jak operacje na obiektach skończonych. Akceptując tę teorię, trzeba sporo zapłacić. Jest ona bardzo spekulatywna. Z drugiej strony chyba warto zaryzykować - jak na razie nie ma ona zbyt dużej konkurencji.

A co z niebem Cantora?

W tekście Matematyka: język przyrody i program Wszechświata? zastanawialiśmy się z Łukaszem Kwiatkiem nad "realnym" istnieniem matematyki poza naszymi umysłami. Czy opisane w niniejszym tekście teorie na temat działania naszych umysłów świadczą o tym, że matematyka istnieje tylko w nich? Sądzę, że nie możemy wyciągnąć tak silnego wniosku. Istotnie, teorie te mówią, jak dzieci dochodzą do zdolności matematycznych  i jak poznać można świat matematyki. Nie oznacza to, że świat ten nie istnieje gdzieś poza naszymi umysłami. Dobrym podsumowaniem tej kwestii zdaje się być wypowiedź Michała Hellera (z recenzji wspomnianej książki Dehaene’a The Number Sense):

"To ewolucja wyposażyła nasz mózg w pewne umiejętności matematyczne, ale odkrywając strukturę naszego mózgu i sposoby jego funkcjonowania, możemy jedynie zrozumieć, jak w naszym mózgu powstają pojęcia matematyczne, ale nie jesteśmy w stanie wyjaśnić probabilistycznych strategii ewolucji (ponieważ mózg jest produktem ewolucji, a nie odwrotnie) i nie jesteśmy w stanie odpowiedzieć na pytanie, dlaczego prawa przyrody (...) są matematyczne".

Mateusz Hohol

GraniceNauki.pl to serwis popularnonaukowy Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych i wydawnictwa Copernicus Center Press