Jag har råkat in i ett virrvarr, skrev den österrikiske filosofen Ludwig Wittgenstein, men ämnet för stunden var inte språk eller psykologi, utan matematik. Närmare bestämt något som man kunde kalla för ”talföljdens grammatik”. Intuitivt kan man tänka sig att en förvirring över en talföljd, eller över matematik över huvud taget, borde handla om ifall symbolerna på ens papper är rätt nedskrivna eller om man har använt rätt formel för rätt problem. En förvirring som uppstår någonstans mellan de siffror man har skrivit ner på pappret och det facit man har att jämföra dem med.
Men det är inte detta som förvirrar Wittgenstein. Precis som han inte lät sig förvirras över klassiska moralfilosofiska frågor som ”vad är godhet?” eller ”hur kan man förstå en annan människa?” låter han sig inte förvirras över den klassiska matematikfilosofiska frågan ”vilken är den verklighet som matematiken motsvarar?”. Det som sysselsätter honom är istället det språk som omger siffrorna, formlerna och reglerna. Eller rättare sagt: han försöker klä sin egen intuition i ord, den som handlar om att språket inte egentligen omger reglerna, formlerna och siffrorna, utan är en del av dem.
En tolkning av Wittgensteins tankar i de postumt utgivna anteckningarna”Filosofiska undersökningar”(1953) är att frågor som ”vad är godhet?” eller ”finns det en objektiv moral?” är meningsfulla bara om man låser sig vid en bild av orden som substantiv. Och inte bara som substantiv, utan som föremål som liksom kan fixeras i luften och sedan analyseras genom att man går omkring och tittar på dem, från alla håll och kanter, för att på det sättet ta reda på vad de egentligen innehåller. Det här är ”en bild som håller oss fången”, vad gäller vårt språk, eftersom den är ”inbyggd i vårt språk”, ett flitigt citerat uttryck av samma självdiagnostiserat förvirrade tänkare. Men med insikten följer ett slags intellektuell självterapi. När man förstår att det är detta man faktiskt håller på med – en mystifierande fixering av orden i luften – framstår möjligen hela aktiviteten som aningen poänglös.
Artikeln fortsätter...
Medan Wittgensteins språkfilosofi får plats redan i introduktionsböcker, har hans matematikfilosofi av någon anledning stannat inom forskarseminariernas och doktorsavhandlingarnas trånga rum. Och får man tro de finländska filosoferna Kim-Erik Berts och Kim Solin har matematikfilosofin överlag dessutom i dessa trånga rum fastnat i olika versioner av metafysiska frågor om matematikens inre väsen. För vilken är då denna verklighet, den som matematiken har att falla tillbaka på? Också här finns det en bild som riskerar att hålla oss fångna. Det är en sådan påminnelse av wittgensteinskt slag som introduceras i Berts och Solins bokMatematiken och Wittgenstein. En introduktion i matematikens filosofi(Thales, 160 s).
Matematiken är den gren av vetenskapsbygget ”där skeptikerns möjligheter att slå in sina kilar förefaller, om inte avlägsnade, så åtminstone färre”, enligt Berts och Solin. Mer och mer började filosofin snegla mot matematiken och använde den som sitt ideal. Matematikernas och logikernas verksamheter följer i själva verket ett slags cirkelrörelse kring varandra. Den filosofiska tolkningen av matematiken ska legitimera en viss bild av matematiken, en deduktiv vetenskap som står på en stadig filosofisk grund, med modell av matematiken.
Från Euklides”Elementa”går en linje genom kunskapsteorin, via Descartes, Leibniz, Hume, Kant och Frege och ibland parallellt, ibland tangerande, med en linje genom matematiken, via Fermat, Newton, Euler, Gauss och Cantor. Det fanns en gemensam strävan bland matematikfilosoferna och logikerna i denna grupp: att hitta något att stå på. Och det var detta, en vilja till att en gång för alla skapa en logisk grund för aritmetiken, som fick Russell och Whitehead att skriva ”Principia Mathematica”(1910–13), som i sin tur fick Wittgenstein att intressera sig för filosofi.
Här smälter alltså filosofin och matematiken samman. Logiken smyger sakta över och blir, som en formell kalkyl, en del av matematiken. Berts och Solin citerar Georg Henrik von Wright som i”Den logiska empirismen”på tal om detta konstaterar: ”Sålunda vidgar sig logistikens system steg för steg mot den förnäma disciplin, vars under två och ett halvt årtusende småningom resta tankebyggnad hör till människoandens evigaste och ädlaste skapelser: matematiken.”
Men kilar slogs trots allt in, i detta vetenskapsbyggets till synes lyckliga äktenskap: genom upptäckten av paradoxer inom mängdläran, genom Russells bevis att paradoxer kan uppstå i Freges axiomatiska system och slutligen av Gödel, som med sin andra ofullständighetssats bevisade att inget motsägelsefritt system kan bevisa sin egen motsägelsefrihet. Någonstans i mitten av allt detta, i början av 1900-talet, började man tala om den så kallade grundvalskrisen inom matematiken och filosofin. Och det är i stora drag utgående från sådana frågor som man sedan dess bedrivit matematikens filosofi: vilken är den verklighet som matematiken avbildar? Om det inte finns en sådan verklighet, betyder det att matematiken inte är säker? Vad är då säkert över huvud taget?
Eller så kan man fråga sig: varför denna oro över något som ingen egentligen ifrågasätter? Och det är till denna undran som Wittgenstein återvänder, i sina föreläsningar om matematik på Cambridge på 30-talet. I stället för att inordna sig i någon av de tre skolor som försökte besvara frågan om varför två plus två verkligen är fyra – som logicismen (Frege, Russell, Whitehead), formalismen (Hilbert) eller intuitionismen (Brouwer) – och på det sättet återställa matematikens epistemologiska högstatus, gick Wittgenstein tillbaka till de förstadier som han tänker sig gav problemen livsrum från första början.
”Jag har råkat in i ett virrvarr”, skriver han 1939 och det fanns säkert både matematiker och filosofer som menade att denna förvirring helt enkelt handlade om att han inte förstod sig på matematik. Men för att få grepp om hans position behöver man egentligen inte gå längre än till grundskolan. Hur långt borta finns den här oändligheten, den som ligger någonstans långt till höger på tallinjen? Hur stor är en punkt? Hurudana konturer har talet två? Vi är visserligen beroende av förenklade bilder för att kunna använda symbolerna, för att inte trassla in oss i kalkylerna, men det faktum att man inser att bilderna är förenklade gör inte matematiken mindre säker.
Insikten betyder inte att matematiken svarar mindre mot verkligheten än den skulle göra ifall bilderna var tydliga. Frågan: ”hur vet vi att matematiken är säker?” uppstår i själva verket just här, i mellanrummet mellan den bild vi först accepterat som säker och stunden när vi inser att bilden inte fungerar. Och osäkerheten kring matematikens säkerhet ser ut att uppstå på samma ställe, men det är en illusion – egentligen har vi bara upptäckt något nytt om vår egen förståelse. Som Wittgenstein påpekar har vi varken dragit ifrån eller lagt till något om matematikens säkerhet här, vi har bara blivit klarare om vad vi själva tänker. Vi är helt enkelt tillbaka där vi började, och ”matematiken lämnas som den är”.
Wittgensteins matematikfilosofi handlar i första hand om att blottlägga överträdelser i både det filosofiska och matematisk-logiska språket, i dessa grundvalskrisens efterdyningar, för att ge filosofin och den matematiska logiken den skilsmässa de behövde för att åter kunna umgås under sansade former. En logik hit, en logik dit. Det handlar alltså, för att låna ett i filosofiska kretsar närmast slitet uttryck, om vad vi egentligen pratar om när vi pratar om matematik. Och innan det: en ganska enkel påminnelse om att matematik också handlar om språk, att det faktiskt också handlar om att tala, inte bara om att räkna.
Matematikens filosofi innebär ett slags renodling av den kunskapsteoretiska diskussionen om säker kunskap. Det är en diskussion som man numera från övrigt (teoretiskt) filosofiskt håll släppt taget om och ersatt med frågor som riktar sig mot olika slags diskurser. Frågor om verklighetens innersta väsen, om en idévärld bortom den fysiska verkligheten eller om den säkra kunskapens definition, är numera sådana man avklarar i gymnasiet och i filosofins historia, för att sedan genom eget skrivande och seminariediskussioner utveckla ett nyanserat tänkande kring mer specifika, för allmänheten svårbegripliga ämnen. Tyngdpunkten har alltså förskjutits från de metafysiska och existentiella frågorna om sakernas egentliga tillstånd till frågor om vad man menar med ord som ”egentliga” eller ”tillstånd”. Tyvärr, får man väl kanske också säga.
Enligt Aristoteles börjar filosofin med förundran, kanske just när man råkar in i ett virrvarr över något som tidigare var självklart. Och det är väl genom en sådan förundran som människor hittar till filosofin från första början. Att man sedan efter några vilda år under grundkursernas förlåtande höga tak så småningom får finna sig i att sansa sig vad gäller metafysiken är väl precis vad man kan förvänta sig av en verksamhet som nästan uteslutande befinner sig inom det vetenskapligas väggar.
Att vara filosofiskt förundrad över matematik är egentligen inte konstigare än att vara förundrad över kärlek, vänskap eller vad det innebär att göra rätt. Däremot finns det, som Wittgenstein alltså på sin tid ganska ensamt insett, vissa risker med att närma sig matematiken via filosofin. Å ena sidan att man klistrar på det matematiska språket anspråk som inte handlar om matematik, å andra sidan att man sammanblandar en förvirring hos sig själv med osäkerhet om matematikens säkerhet.
Men poängen om gränsdragningar går förstås också i andra riktningen. Att påpeka att en förundran över matematik inte bara handlar om matematik behöver inte betyda att det inte handlar om filosofi. För det filosofiska språket gränsar inte bara till logiken och matematiken, det gränsar också till estetiken, till det religiösa språket, till poesin och psykologin. Att ställa frågor om omöjliga bilder behöver inte handla om dålig filosofi, lika mycket kan det handla om att det som i dag kallar sig filosofi har begränsat sig alltför mycket till det som är vetenskapligt.
Det finns matematiska symboler som kan säga mer än vi kan säga med ord och det finns fysikaliska bilder av verkligheten som inte enkelt kan tecknas. Men sedan finns det också människor som inte nöjer sig med det språk som verkligheten talar, de som låter tankarna blandas och förvirras och låter bilderna bli paradoxer, som vi ändå på något sätt förstår, eller lyckas teckna bilder av som egentligen är omöjliga. Som skapar saker, det vill säga sådant som inte kan utläsas av en logisk sats, av det som redan finns i världen. Det handlar väl om att hålla tungan rätt i mun, och veta var man står när man talar, för att inte bli missförstådd av dem vars språk man lånat. Och när man sedan lärt sig detta, till exempel genom att låta sig introduceras till Wittgensteins syn på matematik, kan man väl med fördel, och med mindre risk för att råka i virrvarr, utvidga det rum som definierar vad som är filosofiskt.
understrecket@svd.se